分辨率的三種判據(jù)

物鏡分辨率是指物鏡分辨兩個緊密相鄰特征的能力，理論上常用兩個可分辨的點光源之間的最小距離表示。點光源的圖像由于衍射不是一個亮點，而是一個延伸的光強輪廓。這種輪廓叫艾里斑，包含一個中心亮斑和一系列強度顯著減弱的明暗交替同心環(huán)。因此，兩個點光源的圖像是兩個有所重疊的艾里斑，而物鏡分辨率取決于兩者之間的最小可分辨距離。




雖然怎樣才能判定兩個艾里斑是可分辨的沒有基本的標(biāo)準(zhǔn)，但實際應(yīng)用中仍有一些可供參考的判據(jù)。在顯微鏡成像中，常用的兩個判據(jù)是瑞利判據(jù)和阿貝判據(jù)。第三個是天文學(xué)常用的斯帕羅(Carrol Mason Sparrow)判據(jù)。




瑞利判據(jù)




瑞利判據(jù)指出，當(dāng)一個艾里斑的第一個強度極小值剛好和另一個艾里斑的極大值重合時，這兩個艾里斑是可被分辨的。以中心極大值為圓心，第一個強度極小值位于半徑為1.22λf/D的圓環(huán)上，其中λ是光波長，f是物鏡焦距，而D是入瞳直徑。
如果以數(shù)值孔徑(NA)表示，瑞利分辨率為：
r(R) = 1.22λf/D = 0.61λ/NA
左下圖展示了間距等于瑞利分辨率的兩個理想艾里斑(假設(shè)照明光源為非相干光源)，而右下圖是對應(yīng)的光強曲線。通過兩條垂直的虛線可看出，每個艾里斑的極大值剛好和相鄰艾里斑的極小值重合。而且，兩個極大值之間還有一個局部極小值，清晰地出現(xiàn)在兩個白色光斑之間的灰色區(qū)域。



阿貝判據(jù)




在阿貝理論中，成像是一個雙重衍射過程。在這個理論框架中，為了分辨相距為d的兩個特征，要求是零級和一級衍射都能通過物鏡。因為一級衍射的角度為sinθ? = λ/d，所以兩個特征的最小間距(物鏡分辨率)為d = λ/(n·sinα)，其中α是物鏡的孔徑半角，而n是成像介質(zhì)的折射率。

上述結(jié)果是實際分辨率極限的2倍，因為它假設(shè)兩個一級衍射都要通過物鏡，但實際上只需要通過一個一級衍射和零級衍射。將上述結(jié)果除以2并代入NA的表達(dá)式可得出著名的阿貝分辨率：

r(A) = 0.5λ/NA

左下圖展示了間距等于阿貝分辨率的兩個理想艾里斑，而右下圖是對應(yīng)的光強曲線。相比瑞利分辨率，原點處的極小值更難分辨很多，因為它只比兩個強度極大值低2%左右。



斯帕羅判據(jù)




對于瑞利和阿貝分辨率，兩個點光源的合成強度輪廓有一個極小值，位于兩個極大值中間的原點處。從某種意義上講，這正是兩個點光源得以分辨的原因。如果間距進(jìn)一步減小，直至小于阿貝分辨率極限，這兩個單獨的極大值就將融合成一個中心極大值而無法分辨。因此，斯帕羅分辨率判據(jù)指出，當(dāng)中心從極小值過渡到極大值時，兩個點光源的間距達(dá)到可分辨極限。

在斯帕羅分辨率極限位置，合成強度輪廓的中心是平坦的，說明強度對位置的導(dǎo)數(shù)在原點處為零。但這不能判斷原點處的強度是極大值還是極小值。由于斯帕羅分辨率極限發(fā)生在原點強度從局部極小值過渡為極大值的時候，因此二次導(dǎo)數(shù)的符號必須從正變?yōu)樨?fù)。

因此，斯帕羅判據(jù)是基于二階導(dǎo)數(shù)的。當(dāng)原點處的二階導(dǎo)數(shù)為零時，分辨率達(dá)到極限。將此條件應(yīng)用于兩個艾里斑的合成強度輪廓，可得到斯帕羅分辨率：

r(S) = 0.47λ/NA

左下圖展示了間距等于斯帕羅分辨率的兩個艾里斑，而右下圖是對應(yīng)的光強曲線，其原點處沒有強度凹陷。